Задачи по линейному программированию для самостоятельной работы.

Задача 1

Брокеру биржи клиент поручил разместить 100 000 долл. США на фондовом рынке, сформировать портфель с ценными бумагами, чтобы получить максимальные годовые проценты с вложенного капитала. Выбор ограничен четырьмя возможными объектами инвестиций-акций А, В, С, D, которые позволяют получить доход в размерах соответственно 6%, 8%, 10%, 9% годовых от вложенной суммы. При этом клиент поручил не менее половины инвестиций вложить в акции А и В. С целью обеспечения ликвидности не менее 25% общей суммы капитала нужно поместить в акции D. Учитывая прогноз на изменение ситуации в будущем, в акции С можно вложить не более 20% капитала. Специфика налогообложения указывает на необходимость вложения в акции А не менее 30% капитала. Построить модель, на основе которой можно решить задачу распределения инвестиций капитала, обеспечивающего максимальный годовой процентный доход.

Задача 2

Нефтеперерабатывающий завод получает за плановый период четыре полуфабриката: 600 тыс. литров алкилата, 316 тыс. литров крекинг-бензина, 460 тыс. литров бензина прямой перегонки и 200 тыс. литров изопентана. В результате смешивания этих ингредиентов в пропорциях 2:3:1:5, 2:4:3:4, 5:1:6:2 и 7:1:3:2 получают бензин четырех сортов В1, В2, В3, В4. Цена его реализации – соответственно 1350, 1400, 1600 и 1250 ден. единиц за тысячу литров. Предположив, что реализация любого сорта специального бензина не вызовет затруднений, построить модель, на основе которой можно решить задачу продажи бензина разных сортов, максимизирующую суммарную стоимость.

Задача 3

Радиозавод выпускает радиоприемники трех моделей А, В и С. Каждый радиоприемник указанных моделей приносит доход в размере 80, 150 и 250 ден. единиц соответственно. Необходимо, чтобы завод выпускал за неделю не менее 100 приемников модели А, 150 приемников модели В и 75 приемников модели С. Каждая модель характеризуется определенным временем, необходимым для изготовления соответствующих деталей, сборки изделия и его упаковки. Так, в частности, в расчете на 10 приемников модели А требуется 3 часа для изготовления соответствующих деталей, 4 часа на сборку и 1 час на упаковку. Соответствующие показатели в расчете на 10 приемников модели В равняются 3,5; 5 и 1,5 часам, а на 10 приемников модели С – 5; 8 и 3 часам. В течение ближайшей недели завод может израсходовать на производство радиодеталей 150 часов, на сборку – 200 часов, на упаковку – 61 час. Построить модель, на основе которой можно определить оптимальный план выпуска радиоприемников всех моделей для получения максимального дохода.

Задача 4

Лесничество имеет 25 га свободной земли под паром и заинтересовано извлечь из нее доход. Оно может выращивать саженцы быстрорастущего гибрида новогодней ели, которые достигают спелости за один год, или бычков, отведя часть земли под пастбище. Деревья выращиваются и продаются в партиях по 1000 штук. Требуется 1,5 га для выращивания одной партии деревьев и 4 га для вскармливания одного бычка. Лесничество может потратить только 200 ч. в год на свое побочное производство. Практика показывает, что требуется 20 ч. для культивации, подрезания, вырубки и пакетирования одной партии деревьев. Для ухода за одним бычком также требуется 20 ч. Лесничество имеет возможность израсходовать на эти цели 6 тыс. руб. Годовые издержки на одну партию деревьев выливаются в 150 руб. и 1,2 тыс. руб. на одного бычка. Уже заключен контракт на поставку 2 бычков. По сложившимся ценам, одна новогодняя ель принесет чистый доход в 2,5 руб., один бычок – 5 тыс. руб.

Задача 5

С Курского вокзала Москвы ежедневно отправляются скорые и пассажирские поезда. Построить модель задачи, с помощью которой можно определить оптимальное количество поездов обоих типов, обеспечивающих максимальное количество ежедневно отправляемых пассажиров с вокзала, если пассажировместимость и количество вагонов железнодорожного депо станции отправления указаны в таблице.

Сложная задача

Фирма выпускает три продукта: А, В, С. На производство единицы продукта А требуется затратить 1 ч. труда ИТР, 10 ч. физического труда и 3 кг. сырья. Для единицы продукта В соответствующие показатели равны 2 ч., 4 ч. и 2 кг, для продукта С – 1 ч, 5 ч. и 1 кг. Ресурсы составляют 400 ч. труда ИТР, 2300 ч. физического труда и 700 кг. сырья. При оптовых закупках покупателю предоставляются скидки, так что прибыли от продажи продукции изменяются, как показано в таблице. Например, если продается 120 ед. продукта А, то первые 40 ед. приносят по 10 долл. прибыли; следующие 60 – по 9 долл., а остальные 20 – по 8 долл. Сформулируйте задачу линейного программирования, решение которой определяет наиболее доходный производственный план.