Площадь кардиоиды

Clear[a,t]
PolarPlot[(1+Cos[t]),{t,0,2Pi},
PolarGridLines->Automatic,
PolarAxes->Automatic,
PolarTicks->{"Degrees",Automatic}]

1/2 Integrate[(a(1+Cos[t]))^2,{t,0,2Pi}]

Clear[a,t]
PolarPlot[(1+Cos[t]),{t,0,2Pi}]
Area[{r(1+Cos[t]),t},{r,0,a},{t,0,2Pi},"Polar"]

Площадь лемнискаты Бернулли

Clear[a,t]
PolarPlot[Sqrt[ Cos[2 t]],{t,0,2Pi},
PolarGridLines->Automatic,
PolarAxes->Automatic,
PolarTicks->{"Degrees",Automatic}]

2*1/2 Integrate[ (a Sqrt[  Cos[2 t] ] )^2,{t,-Pi/4,Pi/4}]

Clear["Global`*"]
PolarPlot[Sqrt[Cos[2 t]],{t,0,2Pi}]
2*Area[{ r Sqrt[  Cos[2 t] ] ,t},{r,0,a},{t,-Pi/4,Pi/4},"Polar"]

Объем тела вращения

Clear["Global`*"]

s=Solve[x^2/a^2+y^2/b^2==1,y];
sol=y/. s[[2]];
V=Pi Integrate[sol^2,{x,-a,a}]
a=2;b=1;
Plot[sol,{x,0,a}]
RevolutionPlot3D[sol,{x,0,a}]

Длина  участка циклоиды

Clear["Global`*"]

ParametricPlot[{t-Sin[t],1-Cos[t]},{t,0,5Pi},
AspectRatio->1/4]
x=a(t-Sin[t]);
y=a(1-Cos[t]);
Integrate[Sqrt[D[x,t]^2+D[y,t]^2],{t, 0,2Pi}]

Clear["Global`*"]

ParametricPlot[{t-Sin[t],1-Cos[t]},{t,0,5Pi},AspectRatio->1/4]
x=a(t-Sin[t]);
y=a(1-Cos[t]);
ArcLength[{x,y},{t, 0,2Pi}]//Simplify

Приложение определенного интеграла к задачам экономики

Объем выпускаемой продукции

Clear["Global`*"]
g=( 1.+t)Exp[3 t];
Q=Integrate[g,{t,0,4}]
LogPlot[g,{t,0,5},GridLines->Automatic]

Дисконтированный доход

Clear["Global`*"]
f=10+t
Integrate[f Exp[-0.08 t],{t,0,3}]

TimeValue[Cashflow[{10,11,12}],0.08,0]

Вычислить коэффициент Джини

y=1-Sqrt[1-x^2];
kg=1-2Integrate[y,{x,0,1}]//N
Plot[{x,y},{x,0,1},Filling->Axis,
Epilog->{PointSize[Medium],
Point[{1,1}],Dashed,
Line[{{1,0},{1,1},{0,1}}]}]