Вычислить площадь

Clear["Global`*"]
f[t_]:=Piecewise[{{1,t≥ 0 },{-1, t<0}}];
Integrate[f[t],{t,-1,x},Assumptions->x∈Reals]
Plot[f[x],{x,-2,2}]

Вычислить площадь

Clear["Global`*"]
f[x_]:=Log[x];
x0=1;
xn=Exp[1];
int=Integrate[f[x],{x,x0,xn}]
Show[
Plot[f[x],{x,0,3}],
Plot[f[x],{x,x0,xn},Filling->0],
ListPlot[{{x0,f[x0]},{xn,f[xn]}},Filling->0]]