Clear["Global`*"]

Разложение функции в ряд Тейлора

Series[Sin[x],{x,x0,3}]

Series[Cos[x],{x,Pi/2,3}]

Series[Log[Cos[Exp[x]-1]],{x,0,3}]

Демонстрация приближенных вычислений значения функции в окрестностях заданной точки

f[x_]:=Sin[x];
x0=Pi/4;
Manipulate[
Show[
Plot[{f[x],
Evaluate[Normal[Series[f[x],{x,x0,n}]]]},
{x,-3Pi/4,Pi},PlotRange->{-1.1,1.1}
],
ListPlot[{{Pi/4,Sin[Pi/4]}},PlotStyle->Red,Filling->Axis]
],{n,1,10,1}
]