ClearAll["Global`*"]

Кусочно-заданная функция

f=Piecewise[{{x+1,x≤ -1},{3,-1<x≤1},{x^2-1,x>1}}]
Plot[f,{x,-3,3}]

Limit[f,x->-1]
Limit[f,x->-1,Direction->1]
Limit[f,x->-1,Direction->-1]

Limit[f,x->1,Direction->1]
Limit[f,x->1,Direction->-1]

Разрывы первого и второго рода

1)  1/cos(x)

f=1/Cos[x];
Plot[f,{x,-9,9}]

Reduce[Cos[x]==0,x]

Limit[f,x->-Pi/2]
Limit[f,x->-Pi/2,Direction->1]

Limit[f,x->Pi/2]
Limit[f,x->Pi/2,Direction->1]

2)  x sin(1/x)

g=x Sin[1/x]
Limit[g,x->0]
Limit[g,x->0,Direction->1]
Plot[g,{x,-1,1},PlotRange->{-0.5,1}]

Несуществующий предел

h[x_]:=If[Element[x,Rationals],1,0]
Limit[h[x],x->Pi]